Viene spesso citato il parametro Rt, quale misura dinamica della forza di un’epidemia. Vediamo ora di fare un po’ di chiarezza, procedendo per punti.

  1. Un modello dinamico ha quale scopo quello di individuare la traiettoria di una certa variabile nel tempo. Prendiamo ora in considerazione, tra quelli deterministici, il più semplice in assoluto, al fine di capire il significato della variabile R. In questa prospettiva, introduciamo i concetti del modello di  Kermack e McKendrick noto come SIR, dove la popolazione, chiusa, è divisa in tre categorie: suscettibili alla patologia epidemica (S), infetti (I) e recuperati. In particolare, a indica il numero medio, costante, di contatti giornalieri per ciascun infettivo e g il tasso di rimozione dalla classe degli infetti di soggetti che, poi, divengono immuni.  
  2. Il sistema è così esprimibile in termini dinamici.

dS/dt = -a*I*S

dI/dt = a*I*S – g*I

dR/dt=  g*I

Introduciamo, quindi, le seguenti condizioni iniziali:

S(0) = S0; I(0) = I0; R(0) = R0

L’analisi del sistema di ODE sopra riportato porta alla conclusione che:

dI/dt>0 se aS0 – g >0

Con un minimo di algebra elementare, si può notare che la condizione di crescita degli infetti è soddisfatta quando se S0 > g/a mentre se vale S0 < g/a’epidemia tenderà ad estinguersi.

Definiamo ora il tasso di riproduttività di base della malattia come rapporto

R0 = a/gS0

Dalle considerazioni sin qui svolte risulta che l’epidemia tenderà a propagarsi quando R0>1, mentre si contrarrà quando R0<1.

Il modello SIR può essere ulteriormente complicato, aprendo la popolazione, ovvero si possono analizzare altri modelli che considerano diversi scenari: per esempio che chi guarisce non acquisisca alcuna immunità. Ma restiamo al nostro esempio.

  • Appare evidente dalle considerazioni svolte che la diffusione di un’epidemia dipenda da una serie di elementi che qui vengono trattati come parametri e in particolare: la probabilità di contatto tra un soggetto infetto e uno suscettibile (diretta); la durata media di infettività del soggetto malato (diretta) e, infine, il numero di suscettibili in circolazione (inversa). Mentre il terzo elemento può essere manipolato “esogenamente” attraverso l’uso di vaccini, riducendo il numero di suscettibili, se non è possibile immunizzare artificialmente la popolazione, allora l’unica politica che resta nel caso di patologie interumane come quelle da Covid è quella di ridurre i contatti tra individui.
  • Se R0 è un valore teorico che deriva da modelli deterministici, si pone il problema della sua misurazione e, in particolare, della sua misurazione dinamica. Senza entrare troppo nel dettaglio tecnicistico, uno dei metodi teorici ottimali deriva dall’analisi degli autovalori della cosiddetta matrice di “next generation”, definita come G = FV-1 dove si considerano i nuovi casi e le transizioni di classe nel contesto di un modello strutturato socialmente. L’autovalore di modulo massimo misurato sulle matrici nel periodo t è Rt (teorema di Perron-Frobenius).
  • E’ del tutto evidente che questa metodologia appare essere piuttosto complessa, soprattutto per quanto concerne il reperimento dei dati. Rt può essere considerato a partire dall’introduzione della seguente: R(t) = S(t) / S(0) *R0. Da qui vengono fatte una serie di assumption su R, in genere trattando tale variabile come un processo stocastico e associandolo a una certa distribuzione statistica.
  • L’esito dell’analisi statistica produce sì un valore puntuale (medio) di R(t), ma questo di per sé è privo di significato perché, come insegna la teoria della misura, la probabilità in un punto è nulla. Quindi occorre vedere anche il cosiddetto secondo momento (varianza) e costruire un intervallo di confidenza che ci dia indicazioni di quale sia l’intervallo di valori in cui risulta probabile, ad un certo livello prefissato arbitrariamente, che in esso risieda il “vero” valore di una variabile (intervallo di confidenza). Quindi, se fisso la probabilità al 95% e ho un valore medio di 50 con intervallo di confidenza al 95% [48,5 – 51,5] è ben diverso che avere lo stesso valore medio ma un CI [0-100]. Nel secondo caso, possiamo concludere che quel cinquanta sia scarsamente significativo.
  • Per chi avesse voglia di guardarsi i dati pubblicati periodicamente da Repubblica, con fonte ISS, per regione, si troverà la sorpresa (vedi foto) di trovare la gran parte delle regioni in questa condizione:
Immagine che contiene screenshot  Descrizione generata automaticamente

Come vedete il CI varia da 0.39 a 2.28 secondo un modello non lineare.

Abbiamo visto che per Rt<1 l’epidemia si estingue, mentre se Rt>1 si propaga. E con questo CI che possiamo dire?

Direi nulla di sensato. Però se fossimo giornalisti potremmo fare terrorismo facendo leva sul primo momento (media) che è superiore all’unità.

Attenti alle notizie! Bisogna sempre stare all’erta, anche se le fake news sono bandite. Ma qui non è questione di fake news, ma di capire o non capire la matematica e la statistica.